Materi Polinomial

 POLINOMIAL

Assalamu'alaikum Wr. Wb.

Banyak sekali orang yang berpikiran bahwa matematika adalah pelajaran yang paling sulit. kenapa karena pelajaran matematika berkaitan dengan angka bilangan hitungan operasi matematika yang membuat sebagian orang sangat malas untuk berkenalan dengan matemaitika. tapi mungkin tidak bagi sebagian orang yang sangat mencintai pelajaran matematika. matematika itu mudah tidak dipersulit dengan rumus ataupun satuan.

Kali ini materi matematika yang akan dikupas dalam artikel ini adalah tentang Polinomial.

1. Pengertian Polinomial

Polinomial adalah suku banyak yang memuat variabel,pangkat,koefisien,operasi matematik .
bentuk umum dari polinomial adalah

an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0

dengan an , an-1 , …. , a1 , a0 € R koefisien/konstanta
suku banyak an ≠ 0 , dan n bilangan bulat positif.

2. Contoh polinomial :

 

3. Contoh bukan polinomial



4. Operasi Polinomial
     a. Penjumlahan
         f(x)+g(x)=(2x–4)+(3x2 +5x–6)
                         =2x–4+3x2 +5x–6
                         =3x2 +2x+5x–4–6
                         = 3x2 + 7x – 10
     b. Pengurangan
          f(x) – g(x) = (3x²-10x+4) - (2x-7)
                           = 3x²-10x-2x+4+7
                           = 3x² - 12x + 11
     c. Perkalian

       f(x) × g(x) = (–3x³ – x² + 2x) (x⁸ + 2x⁵ – 15x² + 6x + 4)

                        = –3x¹¹ – 6x⁸ + 45x⁵ – 18x⁴ – 12x³ – x¹⁰ – 2x⁷ + 15x⁴ – 6x³ – 4x² + 2x⁹ + 4x⁶ – 30+                                 12x² + 8x

                        = –3x¹¹ – x¹⁰ + 2x⁹ – 6x⁸ – 2x⁷ + 4x⁶ + 45x⁵ – 3x⁴ – 48x³

 

5. Algoritma Pembagian
    Bilangan = Pembagi × Hasil Bagi + Sisa
      f(x)         = p(x) × h(x) + s(x)
    a. Cara Bersusun



    b. Horner



6. Teorema Sisa
   a. Teorema Sisa 1
       ● Jika suku banyak f(x) dibagi (x-k) maka sisa pembagiannya adalah f(k) atau ditulis

 

          Contoh :
         
       

   b. Teorema Sisa 2
       ● Jika suku banyak f(x) dibagi A(x)-B maka akan bersisa

          Contoh :

           

 c. Teorema Sisa 3

• Jika suatu suku banyak      maka bersisa p(x) + q dimana f(a) = p(a) + q dan f(b) = p(b) + 
• Contoh :

      Tentukanlah sisa pembagian suku banyak (x4+x3  –  2x2  + x + 5) dibagi (x2+ x - 6). 

      Penyelesaian

      Bentuk x2  + x – 6 dapat difaktorkan menjadi

      x2  + x – 6 = (x + 3)(x – 2)

      Sehingga nilai a = -3 dan b = 2

      f(a) = pa + q

      (-3)4  + (-3)3  – 2(-3)2  + (-3) + 5 = p(-3) + q

      81 – 27 – 18 – 3 + 5 = -3p + q

      38 = -3p + q

      -3p + q = 38….1)

      f(b) = pb + q

      (2)4  + (2)3  – 2(2)2  + 2 + 5 = p(2) + q

      16 + 8 – 8 + 2 + 5 = 2p + q

      23 = 2p + q

      2p + q = 23 …..2)

      Dengan menggunakan tehnik gabungan (eliminasi substitusi) dari ....1) dan ....2) di        dapat  nilai p dan nilai p = -3 dan q = 29  

      Jadi, sisa pembagiannya adalah -3x + 29

7. Teorema Faktor

• Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai nol (0) maka itulah faktornya. untuk setiap (v) = p(x) . h(x) + s(x) , E s(x) =0

      Contoh:

      Tentukanlah faktor-faktor dari suku banyak               x3  + 4x2  + x – 6 = 0

    Penyelesaian

    Misalkan (x – k) merupakan faktor dari f(x) = x3  +     4x2  + x – 6 = 0, maka nilai k yang mungkin adalah     faktor dari -6, yaitu ±1, ±2, ±3 dan ±6
    Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut misalkan x = 1 (pembagi (x - 1)), dengan cara horner diperoleh

5

   Karena sisanya 0, maka (x - 1) merupakan salah satu faktornya, dan faktor yang lain adalah hasil baginya, yaitu

   x3  + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

   Jadi, faktor dari suku banyak x3  + 4x2  + x – 6 = 0        adalah

   x3  + 4x2  + x – 6 = (x - 1)(x + 2)(x + 3)